Skip to main content

Блог инженера

Блог о минимализме, инжинерии и программировании.



Сила экспоненты

  | #environment#MathJax

Экспоненциальный рост часто встречается в природе, но почти никогда - в чистом виде. Он ограничен сверху, причём эта граница может быть весьма близка. Именно благодаря этим органичителям большинство людей просто не представляет себе насколько быстр экспоненциальный рост.

Ещё в школе изучают особенности арифметической и геометрической прогрессий. В первой некоторая величина постоянно возрастает на одну и ту же величину, во второй - умножается на одну и ту же величину. Широко известна легенда про мудреца - изобретателя шахмат и магараджи. Мудрец обучил игре в шахматы магараджу и его визиря, игра так увлекла их, что магараджа предложил изобретателю любую награду. Тот согласился и попросил дать ему зерна. Одно зёрнышко нужно было положить на первую клетку шахматной доски, на вторую - два зерна, на третью - четыре и так далее. Падишах согласился на требование, показавшееся ему ничтожным, но он не смог выполнить обещание. Посчитать количество зёрен на 64 клетке легко - их будет 18 446 744 073 709 551 615, для расчёта достаточно обратиться к формуле геометрической прогрессии:

\[b_n = b_1 \times q^{n-1}\]

Так называется ряд чисел, который предложил составить мудрец. Это количество намного больше массы зерна которое выращивается на всей земле за один год. Так падишах познакомился с силой экспоненты.

Многие помнят эту легенду, но немногие представляют себе, что каждый раз, когда мы имеем дело с величиной, которая возрастает на сколько-то процентов - мы имеем дело с геометрической, а не гораздо более медленной арифметической прогрессией. Если инфляция составляет 12% в год, значит деньги обесцениваются в геометрической прогрессии, если население возрастает на 2,5% в год, значит оно, в конечном счёте, растёт в геометрической прогрессии с основанием 2. Если нам этого не видно, то только из-за периода удвоения сравнимого с продолжительностью жизни человека. В этой статье я обойдусь без формул, кроме той, что приведена выше. И, тем более, без их вывода. Так как каждая формула в статье вдвое уменьшает количество читателей, а это значит, что с ростом числа формул количество читателей уменьшается в геометрической прогрессии.

Придётся поверить мне на слово, или вывести это самому, что период удвоения чего-то, что растёт со скоростью x% в год очень просто, он равен 70/x (это не формула - чистая арифметика, я выполняю свои обещания). Так что инфляция равная 12% означает, что деньги обесценятся вдвое примерно за 6 лет (россиян, помнящих гиперинфляцию 90-х это никак не взволнует). Рост населения на 2,5% означает, что население удвоится примерно через 28 лет - примерно за одно поколение!

Рост не обязательно будет сохраняться постоянным, достаточно посмотреть на графики изменения валового внутреннего продукта какой-нибудь страны, чтобы увидеть, что в сопоставимых ценах (то есть с учётом инфляции) периоды значительного роста могут сменяться падениями и даже периодами отрицательного роста. Но есть величины которые довольно стабильно растут длительные промежутки времени - прирост населения Земли, потребление энергии, рост мировой экономики. На них наше правило наблюдается очень хорошо.

Некоторые последствия экспоненциального закона роста

Конец нефти

Среди геологов и нефтяников распространена точка зрения, что запасы нефти почти неисчерпаемы, так как:

  1. многочисленные предсказания об исчерпаемости нефти не оправдались, были открыты новые месторождения

  2. истощённые месторождения ещё содержат 50% и более первоначального количества нефти, извлекать которую пока экономически неэффективно, но станет эффективным по мере роста стоимости нефти.

Однако стоит понимать, что когда-то будет открыто последнее крупное месторождение нефти. Уже сейчас приходится добывать нефть в особо охраняемых природных территориях. Прогнозировать когда именно это произойдёт действительно сложно. Зато со вторым пунктом всё гораздо яснее. Пусть в недрах остаётся половина содержащейся там нефти. Значит, когда будут истощены все извлекаемые запасы нефти - в случае появления технологии, пригодной для извлечения нефти “досуха”, запас времени будет несколько меньше периода удвоения потребления нефти. Ведь удвоение потребления ресурса означает, что за период удвоения потреблено ресурса больше, чем за весь предшествующий период времени (это доказывается математически, но это положение также вполне можно понять и без математики). При росте потребления нефти в 2,6% период удвоения составит 27 лет. Следовательно, после исчерпания извлекаемых запасов нефти и при наличии идеальной технологии добычи нефти человечество может жить, ничего не меняя, в течение 27 лет.

Пределы роста в микромире

Хороший способ понять непривычную концепцию - представить её в изменённом масштабе. Сделаем большое - маленьким. Для этого возьмём литровую бутыль из-под пепси и посадим туда бактерию, способную делиться раз в минуту, да ещё, заодно, обходиться без еды, так что её размножение ограничено только размером бутылки. Первые десятки минут никто и не увидит, что в бутылке кто-то есть. На 49 минуте небольшую колонию бактерий можно будет увидеть невооружённым глазом, но бактерии по-прежнему будут думать, что живут в необъятном мире. На 55 минуте бутылка уже будет занята на 1/16 и появятся первые паникёры, представляющие себе масштаб проблемы и предсказывающие перенаселение миру. Не думаю, что их будут слушать, места ещё предостаточно. Но на 58 минуте, когда бутылка заполнится на четверть проблема станет куда более заметной. Возможно, наши бактерии даже пошлют дальнюю экспедицию которая обнаружит ещё 3 литровые бутылки. На 59 минуте вернувшихся героев-первооткрывателей будут чествовать, как спасителей колонии, но вы уже догадались, что эти 3 новые бутылки отсрочат катастрофу всего на 2 минуты, даже если сообразительные букашки найдут способ устроить массовое переселение в новые миры. Таковы уж свойства экспоненциального роста.

Тогда почему мы так часто имеем дело с линейными процессами?

На практике изменения обычно линейны. Это привело к “экономической” практике судить о будущем на основе трендов. [подраздел нуждается в толковой доработке].

Наши перспективы

У меня не было цели вызвать пессимизм. Модели изменения климата, количества ресурсов изложены в книге “Пределы роста”, “Пределы роста 30 лет спустя” и некоторых других. Они сложны, их предсказания меняются в очень широких пределах от “глобальная катастрофа” до “процветающего мира”. Более того, нам неизвестны многие факты, являющиеся исходными данными для модели. Они хорошо подходят для другой цели - делать предсказания “что будет, если всё будет идти без изменений” и “что нужно сделать, чтобы улучшить наши шансы на процветание”.

About Mikhail Kiselev

Photo of Mikhail Kiselev

Приветствую в моём блоге! 😄 Меня зовут Михаил. Я инженер и программист. Живу в Сибири, работаю на Сахалине, путешествую где придётся. Я предпочитаю пост в блог посту в твиттер. Описание полезной технологии или гаджета предпочитаю описанию заката или посиделок в кафе.